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20 setembro 2009

Estimativas: Cobrindo a ilha de Upaon-Açu com moedas de 1 real

Quantas moedas de 1 real seriam necessárias para cobrir toda ilha de Upaon-Açu, que inclui São Luís do Maranhão, Raposa, Paço do Lumiar e São José de Ribamar?

Alunas: Marcelen, Thais e Weslhya

Para fazer o cálculo de quantas moedas será preciso, devemos dividir a área da ilha pela área ocupada por cada moeda, incluindo na conta a área dos espaços entre elas.
Uma boa maneira de fazer isso, com uma razoável aproximação, é juntar sete moedas de maneira que elas ocupem a área de um hexágono (veja a figura abaixo).


Observe que o hexágono obtido é um hexágono regular, ou seja, ele é formado por 6 triângulos equiláteros. O grupo mediu o lado do hexágono e obteve o valor 4,5 cm, que também é o lado b de cada triângulo equilátero.

A área de um triângulo é dada por

(b é a base e h é a altura). A altura h de um triângulo equilátero é

Logo, combinando as duas equações, obtemos

Sendo a base b de cada triângulo b = 4,5 cm, a sua área será


A área de cada triângulo equilátero, então, é igual a At = 8,77 cm2. Como são 6 triângulos, a área do hexágono será Ah = 6 x 8,77 = 52,62 cm2. Como 7 moedas estão unidas neste espaço, a área ocupada por cada uma delas, contando com a porção do espaço vazio ao seu redor que lhe é correspondente, é obtida dividindo a área do hexágono (Ah) pela quantidade de moedas no seu interior: 52,62 / 7 = 7,5 cm2. Sendo assim, cada moeda ocupa uma área igual a Am= 7,5 cm2.

Como foi visto no post T10 (População de São Luís em Círculo), a área total da ilha de Upaon-açu é de 1.410,015 km2 ou 14.100.150.000.000 cm2. Dividindo a área da ilha (At) pela área ocupada por cada moeda (Am) - At / Am = 14.100.150.000.000 / 7,5 - obtemos o valor 1,88 x 1012 moedas, ou seja,

aproximadamente, 2 trilhões de moedas.


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